value iteration代码解释

Search 算法20题代码解释

好的，我们来用中文详细解释一下第20题的解法。

问题分析

第20题要求我们为一个在网格中行驶的汽车找到一条最优路径。和之前的问题不同，这道题的状态不仅包括汽车的位置（行和列），还包括它的朝向（上、下、左、右）。此外，汽车的移动成本也变得更复杂：直行、左转和右转的成本是不同的。

核心思想：动态规划 (Value Iteration)

解决这类问题的经典方法是动态规划，具体来说是价值迭代 (Value Iteration) 算法。这个思想和第18题的 compute_value 函数非常相似，但我们需要将它扩展到一个三维的状态空间。

1. 状态空间 (State Space)：

   • 之前我们的状态只需要 (row, col)。
   • 现在，因为朝向会影响下一步的移动和成本，所以我们的状态必须是 (row, col, direction)。我们有4个朝向，所以状态空间的大小是 行数 x 列数 x 4。

2. 价值函数 (Value Function)：

   • 我们需要一个三维的 value 表，value[d][r][c] 记录的是：当汽车在 (r, c) 位置并且朝向为 d 时，到达终点所需的最小成本。
   • 我们将这个表初始化为一个非常大的数（例如999），表示初始时我们不知道到达终点的成本。

3. 策略函数 (Policy Function)：

   • 同样，我们需要一个三维的 policy 表，policy[d][r][c] 记录的是：当汽车在 (r, c) 位置并且朝向为 d 时，为了以最小成本到达终点，它下一步应该执行什么动作（右转’R’，直行’#’，或左转’L’）。

算法步骤

算法分为两个主要阶段：

第一阶段：计算所有状态的价值 (Value Iteration)

这个阶段的目标是填满 value 和 policy 这两个三维表。我们使用一个循环，不断地更新每个状态的价值，直到价值不再变化为止。这个过程就像水波从终点反向传播一样。

1. 初始化：

   • 将所有状态的 value 设为 999。
   • 将终点 goal 的 value 设为 0，因为在终点时，到达终点的成本就是0。它的 policy 设为 *。

2. 迭代更新：

   • 我们用一个 while change 循环，只要在上一轮迭代中有任何 value 值被更新，就继续循环。
   • 在循环内部，我们遍历每一个可能的状态 (r, c, d)。

   • 对于一个非终点的状态 (r, c, d)，我们尝试三种可能的动作（右转、直行、左转）：

     • 对于每一种动作，我们计算出执行该动作后的新朝向 d2 和新位置 (r2, c2)。
     • 然后，我们计算通过这个动作到达终点的总成本：v2 = 动作成本 + value[d2][r2][c2]。这个公式的含义是：从 (r, c, d) 出发，执行这个动作，然后从新的状态 (r2, c2, d2) 出发到达终点的最小成本。
     • 我们比较这个 v2 和当前记录的 value[d][r][c]。如果 v2 更小，说明我们找到了一个更好的路径。我们就更新 value[d][r][c] = v2，并把对应的动作记录到 policy[d][r][c] 中。

   • 这个过程会一直持续，直到网络中所有节点的 value 都收敛到最优值。

第二阶段：回溯路径 (Traceback)

当我们完成了第一阶段，policy 表里就存储了从任何状态出发的最佳决策。现在，我们只需要从给定的 init 初始状态 (r, c, d) 开始，按照 policy 表的指引一步一步走，就可以得到最优路径。

1. 从初始状态开始：获取 init 的 r, c, d。
2. 循环移动：
   • 在 policy2D 这个二维网格的 (r, c) 位置，记录下当前状态 (r, c, d) 对应的最佳动作 policy[d][r][c]。
   • 根据这个动作，计算出汽车的新朝向和新位置。
   • 更新 r, c, d 为新的值。
   • 重复这个过程，直到汽车到达 goal 位置。
3. 标记终点：最后，在 policy2D 的终点位置标记一个 *。

最终返回的 policy2D 就是我们要求解的、从特定初始状态出发的最优路径图。

代码解析

python

def optimum_policy2D(grid,init,goal,cost):
    # value[d][r][c]: 从朝向为d, 位置(r,c)的状态到终点的最小成本
    value = [[[999 for col in range(len(grid[0]))] for row in range(len(grid))] for i in range(4)]
    
    # policy[d][r][c]: 从朝向为d, 位置(r,c)的状态出发的最佳动作
    policy = [[[' ' for col in range(len(grid[0]))] for row in range(len(grid))] for i in range(4)]

    # policy2D: 最终从init状态回溯出的路径
    policy2D = [[' ' for col in range(len(grid[0]))] for row in range(len(grid))]

    # --- 第一阶段：价值迭代 ---
    change = True
    while change:
        change = False
        # 遍历所有状态 (r, c, d)
        for r in range(len(grid)):
            for c in range(len(grid[0])):
                for d in range(len(forward)):
                    # 如果是终点
                    if r == goal[0] and c == goal[1]:
                        if value[d][r][c] > 0:
                            value[d][r][c] = 0
                            policy[d][r][c] = '*'
                            change = True
                    # 如果是可通行网格
                    elif grid[r][c] == 0:
                        # 遍历所有动作 (右转, 直行, 左转)
                        for i in range(len(action)):
                            d2 = (d + action[i]) % 4  # 新朝向
                            r2 = r + forward[d2][0]   # 新行
                            c2 = c + forward[d2][1]   # 新列

                            # 如果移动后的位置合法
                            if r2 >= 0 and r2 < len(grid) and c2 >= 0 and c2 < len(grid[0]) and grid[r2][c2] == 0:
                                # 计算新成本 = 动作成本 + 后续成本
                                v2 = value[d2][r2][c2] + cost[i]
                                
                                # 如果找到了更优的路径
                                if v2 < value[d][r][c]:
                                    value[d][r][c] = v2
                                    policy[d][r][c] = action_name[i]
                                    change = True
    
    # --- 第二阶段：回溯路径 ---
    r, c, d = init
    
    # 只要没到终点就一直走
    while r != goal[0] or c != goal[1]:
        # 在2D路径图上记录当前位置的最佳动作
        policy2D[r][c] = policy[d][r][c]
        action_char = policy[d][r][c]
        
        if action_char == ' ': # 如果没有路了
            break
            
        # 根据动作更新朝向和位置
        turn = action[action_name.index(action_char)]
        d = (d + turn) % 4
        r += forward[d][0]
        c += forward[d][1]

    # 标记终点
    policy2D[goal[0]][goal[1]] = '*'

    return policy2D